3.279 \(\int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c+d \sin (e+f x))^3}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=225 \[ -\frac {(c-d) \left (A \left (2 c^2+7 c d+15 d^2\right )+3 B \left (c^2+6 c d-15 d^2\right )\right ) \cos (e+f x)}{15 f \left (a^3 \sin (e+f x)+a^3\right )}+\frac {d^2 (A (2 c+7 d)+3 B (c-9 d)) \cos (e+f x)}{15 a^3 f}+\frac {d^2 x (A d+3 B (c-d))}{a^3}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a \sin (e+f x)+a)^3}-\frac {(2 A (c+2 d)+3 B (c-3 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a \sin (e+f x)+a)^2} \]

[Out]

d^2*(3*B*(c-d)+A*d)*x/a^3+1/15*d^2*(3*B*(c-9*d)+A*(2*c+7*d))*cos(f*x+e)/a^3/f-1/15*(c-d)*(3*B*(c^2+6*c*d-15*d^
2)+A*(2*c^2+7*c*d+15*d^2))*cos(f*x+e)/f/(a^3+a^3*sin(f*x+e))-1/15*(3*B*(c-3*d)+2*A*(c+2*d))*cos(f*x+e)*(c+d*si
n(f*x+e))^2/a/f/(a+a*sin(f*x+e))^2-1/5*(A-B)*cos(f*x+e)*(c+d*sin(f*x+e))^3/f/(a+a*sin(f*x+e))^3

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.81, antiderivative size = 225, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 35, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.143, Rules used = {2977, 2968, 3023, 2735, 2648} \[ -\frac {(c-d) \left (A \left (2 c^2+7 c d+15 d^2\right )+3 B \left (c^2+6 c d-15 d^2\right )\right ) \cos (e+f x)}{15 f \left (a^3 \sin (e+f x)+a^3\right )}+\frac {d^2 (A (2 c+7 d)+3 B (c-9 d)) \cos (e+f x)}{15 a^3 f}+\frac {d^2 x (A d+3 B (c-d))}{a^3}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a \sin (e+f x)+a)^3}-\frac {(2 A (c+2 d)+3 B (c-3 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a \sin (e+f x)+a)^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

(d^2*(3*B*(c - d) + A*d)*x)/a^3 + (d^2*(3*B*(c - 9*d) + A*(2*c + 7*d))*Cos[e + f*x])/(15*a^3*f) - ((c - d)*(3*
B*(c^2 + 6*c*d - 15*d^2) + A*(2*c^2 + 7*c*d + 15*d^2))*Cos[e + f*x])/(15*f*(a^3 + a^3*Sin[e + f*x])) - ((3*B*(
c - 3*d) + 2*A*(c + 2*d))*Cos[e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^2)/(15*a*f*(a + a*Sin[e + f*x])^2) - ((A - B)*Cos[
e + f*x]*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(5*f*(a + a*Sin[e + f*x])^3)

Rule 2648

Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> -Simp[Cos[c + d*x]/(d*(b + a*Sin[c + d*x])), x]
/; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2735

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b*x)/d
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 2968

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(
e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*(A*c + (B*c + A*d)*Sin[e + f*x] + B*d*Sin[e + f*x
]^2), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]

Rule 2977

Int[((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[((A*b - a*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*(c + d*Sin[e + f*x]
)^n)/(a*f*(2*m + 1)), x] - Dist[1/(a*b*(2*m + 1)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n -
1)*Simp[A*(a*d*n - b*c*(m + 1)) - B*(a*c*m + b*d*n) - d*(a*B*(m - n) + A*b*(m + n + 1))*Sin[e + f*x], x], x],
x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && LtQ
[m, -2^(-1)] && GtQ[n, 0] && IntegerQ[2*m] && (IntegerQ[2*n] || EqQ[c, 0])

Rule 3023

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[(C*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 2)), x] + Dist[1/(b*
(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x], x]
, x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(A+B \sin (e+f x)) (c+d \sin (e+f x))^3}{(a+a \sin (e+f x))^3} \, dx &=-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {\int \frac {(c+d \sin (e+f x))^2 (a (2 A c+3 B c+3 A d-3 B d)-a (A-6 B) d \sin (e+f x))}{(a+a \sin (e+f x))^2} \, dx}{5 a^2}\\ &=-\frac {(3 B (c-3 d)+2 A (c+2 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {\int \frac {(c+d \sin (e+f x)) \left (a^2 \left (3 B \left (c^2+5 c d-6 d^2\right )+A \left (2 c^2+5 c d+8 d^2\right )\right )-a^2 d (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d)) \sin (e+f x)\right )}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{15 a^4}\\ &=-\frac {(3 B (c-3 d)+2 A (c+2 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {\int \frac {a^2 c \left (3 B \left (c^2+5 c d-6 d^2\right )+A \left (2 c^2+5 c d+8 d^2\right )\right )+\left (-a^2 c d (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d))+a^2 d \left (3 B \left (c^2+5 c d-6 d^2\right )+A \left (2 c^2+5 c d+8 d^2\right )\right )\right ) \sin (e+f x)-a^2 d^2 (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d)) \sin ^2(e+f x)}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{15 a^4}\\ &=\frac {d^2 (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d)) \cos (e+f x)}{15 a^3 f}-\frac {(3 B (c-3 d)+2 A (c+2 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {\int \frac {a^3 c \left (3 B \left (c^2+5 c d-6 d^2\right )+A \left (2 c^2+5 c d+8 d^2\right )\right )+15 a^3 d^2 (3 B (c-d)+A d) \sin (e+f x)}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{15 a^5}\\ &=\frac {d^2 (3 B (c-d)+A d) x}{a^3}+\frac {d^2 (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d)) \cos (e+f x)}{15 a^3 f}-\frac {(3 B (c-3 d)+2 A (c+2 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}+\frac {\left ((c-d) \left (3 B \left (c^2+6 c d-15 d^2\right )+A \left (2 c^2+7 c d+15 d^2\right )\right )\right ) \int \frac {1}{a+a \sin (e+f x)} \, dx}{15 a^2}\\ &=\frac {d^2 (3 B (c-d)+A d) x}{a^3}+\frac {d^2 (3 B (c-9 d)+A (2 c+7 d)) \cos (e+f x)}{15 a^3 f}-\frac {(c-d) \left (3 B \left (c^2+6 c d-15 d^2\right )+A \left (2 c^2+7 c d+15 d^2\right )\right ) \cos (e+f x)}{15 f \left (a^3+a^3 \sin (e+f x)\right )}-\frac {(3 B (c-3 d)+2 A (c+2 d)) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^2}{15 a f (a+a \sin (e+f x))^2}-\frac {(A-B) \cos (e+f x) (c+d \sin (e+f x))^3}{5 f (a+a \sin (e+f x))^3}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 2.97, size = 366, normalized size = 1.63 \[ \frac {\left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right ) \left (2 (c-d) \left (A \left (2 c^2+11 c d+32 d^2\right )+3 B \left (c^2+8 c d-24 d^2\right )\right ) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^4-15 d^2 (e+f x) (-A d-3 B c+3 B d) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5+6 (A-B) (c-d)^3 \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )-(c-d)^2 (A (2 c+13 d)+3 B (c-6 d)) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^3+2 (c-d)^2 (A (2 c+13 d)+3 B (c-6 d)) \sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right ) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^2-3 (A-B) (c-d)^3 \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )-15 B d^3 \cos (e+f x) \left (\sin \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )+\cos \left (\frac {1}{2} (e+f x)\right )\right )^5\right )}{15 a^3 f (\sin (e+f x)+1)^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((A + B*Sin[e + f*x])*(c + d*Sin[e + f*x])^3)/(a + a*Sin[e + f*x])^3,x]

[Out]

((Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])*(6*(A - B)*(c - d)^3*Sin[(e + f*x)/2] - 3*(A - B)*(c - d)^3*(Cos[(e + f
*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2]) + 2*(c - d)^2*(3*B*(c - 6*d) + A*(2*c + 13*d))*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] +
Sin[(e + f*x)/2])^2 - (c - d)^2*(3*B*(c - 6*d) + A*(2*c + 13*d))*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^3 + 2*
(c - d)*(3*B*(c^2 + 8*c*d - 24*d^2) + A*(2*c^2 + 11*c*d + 32*d^2))*Sin[(e + f*x)/2]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e
+ f*x)/2])^4 - 15*d^2*(-3*B*c - A*d + 3*B*d)*(e + f*x)*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5 - 15*B*d^3*Cos
[e + f*x]*(Cos[(e + f*x)/2] + Sin[(e + f*x)/2])^5))/(15*a^3*f*(1 + Sin[e + f*x])^3)

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 0.48, size = 649, normalized size = 2.88 \[ -\frac {15 \, B d^{3} \cos \left (f x + e\right )^{4} - 3 \, {\left (A - B\right )} c^{3} + 9 \, {\left (A - B\right )} c^{2} d - 9 \, {\left (A - B\right )} c d^{2} + 3 \, {\left (A - B\right )} d^{3} + {\left ({\left (2 \, A + 3 \, B\right )} c^{3} + 3 \, {\left (3 \, A + 7 \, B\right )} c^{2} d + 3 \, {\left (7 \, A - 32 \, B\right )} c d^{2} - {\left (32 \, A - 117 \, B\right )} d^{3} - 15 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x\right )} \cos \left (f x + e\right )^{3} + 60 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x - {\left (2 \, {\left (2 \, A + 3 \, B\right )} c^{3} + 3 \, {\left (6 \, A - B\right )} c^{2} d - 3 \, {\left (A + 19 \, B\right )} c d^{2} - {\left (19 \, A - 84 \, B\right )} d^{3} + 45 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 3 \, {\left ({\left (3 \, A + 2 \, B\right )} c^{3} + 3 \, {\left (2 \, A + 3 \, B\right )} c^{2} d + 9 \, {\left (A - 6 \, B\right )} c d^{2} - 9 \, {\left (2 \, A - 7 \, B\right )} d^{3} - 10 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x\right )} \cos \left (f x + e\right ) + {\left (15 \, B d^{3} \cos \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, {\left (A - B\right )} c^{3} - 9 \, {\left (A - B\right )} c^{2} d + 9 \, {\left (A - B\right )} c d^{2} - 3 \, {\left (A - B\right )} d^{3} + 60 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x - {\left ({\left (2 \, A + 3 \, B\right )} c^{3} + 3 \, {\left (3 \, A + 7 \, B\right )} c^{2} d + 3 \, {\left (7 \, A - 32 \, B\right )} c d^{2} - 2 \, {\left (16 \, A - 51 \, B\right )} d^{3} + 15 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 3 \, {\left ({\left (2 \, A + 3 \, B\right )} c^{3} + 3 \, {\left (3 \, A + 2 \, B\right )} c^{2} d + 3 \, {\left (2 \, A - 17 \, B\right )} c d^{2} - {\left (17 \, A - 62 \, B\right )} d^{3} - 10 \, {\left (3 \, B c d^{2} + {\left (A - 3 \, B\right )} d^{3}\right )} f x\right )} \cos \left (f x + e\right )\right )} \sin \left (f x + e\right )}{15 \, {\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{3} + 3 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f + {\left (a^{3} f \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a^{3} f \cos \left (f x + e\right ) - 4 \, a^{3} f\right )} \sin \left (f x + e\right )\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^3/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/15*(15*B*d^3*cos(f*x + e)^4 - 3*(A - B)*c^3 + 9*(A - B)*c^2*d - 9*(A - B)*c*d^2 + 3*(A - B)*d^3 + ((2*A + 3
*B)*c^3 + 3*(3*A + 7*B)*c^2*d + 3*(7*A - 32*B)*c*d^2 - (32*A - 117*B)*d^3 - 15*(3*B*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x
)*cos(f*x + e)^3 + 60*(3*B*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x - (2*(2*A + 3*B)*c^3 + 3*(6*A - B)*c^2*d - 3*(A + 19*B)*
c*d^2 - (19*A - 84*B)*d^3 + 45*(3*B*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x)*cos(f*x + e)^2 - 3*((3*A + 2*B)*c^3 + 3*(2*A +
3*B)*c^2*d + 9*(A - 6*B)*c*d^2 - 9*(2*A - 7*B)*d^3 - 10*(3*B*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x)*cos(f*x + e) + (15*B
*d^3*cos(f*x + e)^3 + 3*(A - B)*c^3 - 9*(A - B)*c^2*d + 9*(A - B)*c*d^2 - 3*(A - B)*d^3 + 60*(3*B*c*d^2 + (A -
3*B)*d^3)*f*x - ((2*A + 3*B)*c^3 + 3*(3*A + 7*B)*c^2*d + 3*(7*A - 32*B)*c*d^2 - 2*(16*A - 51*B)*d^3 + 15*(3*B
*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x)*cos(f*x + e)^2 - 3*((2*A + 3*B)*c^3 + 3*(3*A + 2*B)*c^2*d + 3*(2*A - 17*B)*c*d^2
- (17*A - 62*B)*d^3 - 10*(3*B*c*d^2 + (A - 3*B)*d^3)*f*x)*cos(f*x + e))*sin(f*x + e))/(a^3*f*cos(f*x + e)^3 +
3*a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3*f + (a^3*f*cos(f*x + e)^2 - 2*a^3*f*cos(f*x + e) - 4*a^3
*f)*sin(f*x + e))

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 0.22, size = 596, normalized size = 2.65 \[ -\frac {\frac {30 \, B d^{3}}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 1\right )} a^{3}} - \frac {15 \, {\left (3 \, B c d^{2} + A d^{3} - 3 \, B d^{3}\right )} {\left (f x + e\right )}}{a^{3}} + \frac {2 \, {\left (15 \, A c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 45 \, B c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} - 15 \, A d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} + 45 \, B d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{4} + 30 \, A c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 15 \, B c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 45 \, A c^{2} d \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} - 225 \, B c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} - 75 \, A d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 210 \, B d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{3} + 40 \, A c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 15 \, B c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 45 \, A c^{2} d \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 60 \, B c^{2} d \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 60 \, A c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 435 \, B c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} - 145 \, A d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 360 \, B d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right )^{2} + 20 \, A c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 15 \, B c^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 45 \, A c^{2} d \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 30 \, B c^{2} d \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 30 \, A c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) - 285 \, B c d^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) - 95 \, A d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 240 \, B d^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 7 \, A c^{3} + 3 \, B c^{3} + 9 \, A c^{2} d + 6 \, B c^{2} d + 6 \, A c d^{2} - 66 \, B c d^{2} - 22 \, A d^{3} + 57 \, B d^{3}\right )}}{a^{3} {\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, f x + \frac {1}{2} \, e\right ) + 1\right )}^{5}}}{15 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^3/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/15*(30*B*d^3/((tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 1)*a^3) - 15*(3*B*c*d^2 + A*d^3 - 3*B*d^3)*(f*x + e)/a^3 + 2*(15*A*
c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 45*B*c*d^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 - 15*A*d^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + 45*B*d^3*ta
n(1/2*f*x + 1/2*e)^4 + 30*A*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 15*B*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 45*A*c^2*d*tan(1/2*
f*x + 1/2*e)^3 - 225*B*c*d^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 - 75*A*d^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^3 + 210*B*d^3*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e)^3 + 40*A*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 15*B*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 45*A*c^2*d*tan(1/2*f*x + 1/2*
e)^2 + 60*B*c^2*d*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 60*A*c*d^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 - 435*B*c*d^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e
)^2 - 145*A*d^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 360*B*d^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e)^2 + 20*A*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 15
*B*c^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 45*A*c^2*d*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 30*B*c^2*d*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 30*A*c*d^2*t
an(1/2*f*x + 1/2*e) - 285*B*c*d^2*tan(1/2*f*x + 1/2*e) - 95*A*d^3*tan(1/2*f*x + 1/2*e) + 240*B*d^3*tan(1/2*f*x
+ 1/2*e) + 7*A*c^3 + 3*B*c^3 + 9*A*c^2*d + 6*B*c^2*d + 6*A*c*d^2 - 66*B*c*d^2 - 22*A*d^3 + 57*B*d^3)/(a^3*(ta
n(1/2*f*x + 1/2*e) + 1)^5))/f

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.43, size = 936, normalized size = 4.16 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^3/(a+a*sin(f*x+e))^3,x)

[Out]

6/a^3/f*d^2*B*arctan(tan(1/2*f*x+1/2*e))*c+6/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*B*c*d^2-24/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*
e)+1)^5*B*c^2*d+24/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*B*c*d^2-6/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*A*c^2*d-6/a^3/f/(
tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*B*d^3+4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*A*c^3+2/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*A*d^3-2/a^
3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*B*c^3-4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2*B*d^3-16/3/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*
A*c^3+4/3/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*A*d^3+4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*B*c^3-4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2
*e)+1)^4*B*c^3+4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*B*d^3-8/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*A*c^3+8/5/a^3/f/(tan(
1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*A*d^3+8/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*B*c^3-8/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*B*d^3-2/
a^3/f*d^3*B/(1+tan(1/2*f*x+1/2*e)^2)+2/a^3/f*d^3*A*arctan(tan(1/2*f*x+1/2*e))+6/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^2
*B*c*d^2+12/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*A*c^2*d-8/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*A*c*d^2-8/a^3/f/(tan(1/2*f
*x+1/2*e)+1)^3*B*c^2*d+4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^3*B*c*d^2-12/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*A*c^2*d+2/a^
3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*A*d^3+12/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*A*c*d^2+12/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*B
*c^2*d-12/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*B*c*d^2+24/5/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^5*A*c^2*d-24/5/a^3/f/(tan(1
/2*f*x+1/2*e)+1)^5*A*c*d^2-6/a^3/f*d^3*B*arctan(tan(1/2*f*x+1/2*e))-2/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)*A*c^3+4/a^3
/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*A*c^3-4/a^3/f/(tan(1/2*f*x+1/2*e)+1)^4*A*d^3

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.58, size = 1682, normalized size = 7.48 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))^3/(a+a*sin(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-2/15*(3*B*d^3*((105*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 189*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 200*sin(f*x +
e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 160*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 75*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5
+ 15*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + 24)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 11*a^3*sin(f*x +
e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 15*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e)
+ 1)^4 + 11*a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5 + 5*a^3*sin(f*x + e)^6/(cos(f*x + e) + 1)^6 + a^3*sin(f*x
+ e)^7/(cos(f*x + e) + 1)^7) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - 3*B*c*d^2*((95*sin(f*x + e)/(
cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 75*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 15*sin(
f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(co
s(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a
^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) - A*d^3*((95*sin(f*x
+ e)/(cos(f*x + e) + 1) + 145*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 75*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 +
15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 22)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e
)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1
)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 15*arctan(sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1))/a^3) + A*c^3*(20*s
in(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 40*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 30*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)
^3 + 15*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + 7)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x
+ e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e)
+ 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 6*B*c^2*d*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x
+ e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*
x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*s
in(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 6*A*c*d^2*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*sin(f*x + e)^2/(cos(f*
x + e) + 1)^2 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 +
10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(
cos(f*x + e) + 1)^5) + 3*B*c^3*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*
sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 10*a^3*sin(f*x + e)^2/
(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)^4/(cos(f*x + e) + 1)^4
+ a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5) + 9*A*c^2*d*(5*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1) + 5*sin(f*x + e)^2/(
cos(f*x + e) + 1)^2 + 5*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 1)/(a^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)/(cos(f*x + e) + 1)
+ 10*a^3*sin(f*x + e)^2/(cos(f*x + e) + 1)^2 + 10*a^3*sin(f*x + e)^3/(cos(f*x + e) + 1)^3 + 5*a^3*sin(f*x + e)
^4/(cos(f*x + e) + 1)^4 + a^3*sin(f*x + e)^5/(cos(f*x + e) + 1)^5))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 15.70, size = 593, normalized size = 2.64 \[ \frac {2\,d^2\,\mathrm {atan}\left (\frac {2\,d^2\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (A\,d+3\,B\,c-3\,B\,d\right )}{2\,A\,d^3-6\,B\,d^3+6\,B\,c\,d^2}\right )\,\left (A\,d+3\,B\,c-3\,B\,d\right )}{a^3\,f}-\frac {{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5\,\left (4\,A\,c^3-10\,A\,d^3+2\,B\,c^3+30\,B\,d^3+6\,A\,c^2\,d-30\,B\,c\,d^2\right )+\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )\,\left (\frac {8\,A\,c^3}{3}-\frac {38\,A\,d^3}{3}+2\,B\,c^3+42\,B\,d^3+4\,A\,c\,d^2+6\,A\,c^2\,d-38\,B\,c\,d^2+4\,B\,c^2\,d\right )+\frac {14\,A\,c^3}{15}-\frac {44\,A\,d^3}{15}+\frac {2\,B\,c^3}{5}+\frac {48\,B\,d^3}{5}+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4\,\left (\frac {22\,A\,c^3}{3}-\frac {64\,A\,d^3}{3}+2\,B\,c^3+64\,B\,d^3+8\,A\,c\,d^2+6\,A\,c^2\,d-64\,B\,c\,d^2+8\,B\,c^2\,d\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3\,\left (\frac {20\,A\,c^3}{3}-\frac {68\,A\,d^3}{3}+4\,B\,c^3+80\,B\,d^3+4\,A\,c\,d^2+12\,A\,c^2\,d-68\,B\,c\,d^2+4\,B\,c^2\,d\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2\,\left (\frac {94\,A\,c^3}{15}-\frac {334\,A\,d^3}{15}+\frac {12\,B\,c^3}{5}+\frac {378\,B\,d^3}{5}+\frac {44\,A\,c\,d^2}{5}+\frac {36\,A\,c^2\,d}{5}-\frac {334\,B\,c\,d^2}{5}+\frac {44\,B\,c^2\,d}{5}\right )+{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6\,\left (2\,A\,c^3-2\,A\,d^3+6\,B\,d^3-6\,B\,c\,d^2\right )+\frac {4\,A\,c\,d^2}{5}+\frac {6\,A\,c^2\,d}{5}-\frac {44\,B\,c\,d^2}{5}+\frac {4\,B\,c^2\,d}{5}}{f\,\left (a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^7+5\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^6+11\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^5+15\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^4+15\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^3+11\,a^3\,{\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )}^2+5\,a^3\,\mathrm {tan}\left (\frac {e}{2}+\frac {f\,x}{2}\right )+a^3\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((A + B*sin(e + f*x))*(c + d*sin(e + f*x))^3)/(a + a*sin(e + f*x))^3,x)

[Out]

(2*d^2*atan((2*d^2*tan(e/2 + (f*x)/2)*(A*d + 3*B*c - 3*B*d))/(2*A*d^3 - 6*B*d^3 + 6*B*c*d^2))*(A*d + 3*B*c - 3
*B*d))/(a^3*f) - (tan(e/2 + (f*x)/2)^5*(4*A*c^3 - 10*A*d^3 + 2*B*c^3 + 30*B*d^3 + 6*A*c^2*d - 30*B*c*d^2) + ta
n(e/2 + (f*x)/2)*((8*A*c^3)/3 - (38*A*d^3)/3 + 2*B*c^3 + 42*B*d^3 + 4*A*c*d^2 + 6*A*c^2*d - 38*B*c*d^2 + 4*B*c
^2*d) + (14*A*c^3)/15 - (44*A*d^3)/15 + (2*B*c^3)/5 + (48*B*d^3)/5 + tan(e/2 + (f*x)/2)^4*((22*A*c^3)/3 - (64*
A*d^3)/3 + 2*B*c^3 + 64*B*d^3 + 8*A*c*d^2 + 6*A*c^2*d - 64*B*c*d^2 + 8*B*c^2*d) + tan(e/2 + (f*x)/2)^3*((20*A*
c^3)/3 - (68*A*d^3)/3 + 4*B*c^3 + 80*B*d^3 + 4*A*c*d^2 + 12*A*c^2*d - 68*B*c*d^2 + 4*B*c^2*d) + tan(e/2 + (f*x
)/2)^2*((94*A*c^3)/15 - (334*A*d^3)/15 + (12*B*c^3)/5 + (378*B*d^3)/5 + (44*A*c*d^2)/5 + (36*A*c^2*d)/5 - (334
*B*c*d^2)/5 + (44*B*c^2*d)/5) + tan(e/2 + (f*x)/2)^6*(2*A*c^3 - 2*A*d^3 + 6*B*d^3 - 6*B*c*d^2) + (4*A*c*d^2)/5
+ (6*A*c^2*d)/5 - (44*B*c*d^2)/5 + (4*B*c^2*d)/5)/(f*(11*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^2 + 15*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)
^3 + 15*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^4 + 11*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^5 + 5*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)^6 + a^3*tan(e/2 + (f
*x)/2)^7 + a^3 + 5*a^3*tan(e/2 + (f*x)/2)))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 56.43, size = 11456, normalized size = 50.92 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))*(c+d*sin(f*x+e))**3/(a+a*sin(f*x+e))**3,x)

[Out]

Piecewise((-30*A*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 60*A*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4
+ 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) -
110*A*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 100*A*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 94*A*c**3*
tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 40*A*c**3*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 14*A*c**3/(15*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f
) - 90*A*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 90*A*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 22
5*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 180*
A*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 108*A*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 90*A*c**2*
d*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 18*A*c**2*d/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 120*A*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15
*a**3*f) - 60*A*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 16
5*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 132*A*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f
) - 60*A*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 12*A*c*d**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 15*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x
/2)**7/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 75*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 165*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)
**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2) + 15*a**3*f) + 225*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3
+ 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 225*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**
3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2) + 15*a**3*f) + 165*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 +
165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 75*A*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(15*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
+ 15*a**3*f) + 15*A*d**3*f*x/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 30*A*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 +
75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 150*A*d**3*ta
n(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 320*A*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 340*A*d**3*tan(e/2 + f*
x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 334*A*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3
+ 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 190*A*d**3*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) +
15*a**3*f) + 44*A*d**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 +
75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 30*B*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e
/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 30*B*c**3*tan(e/2
+ f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 +
225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 60*B*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 36*B*c**3*tan(e/2 + f*x/2)**2/
(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x
/2) + 15*a**3*f) - 30*B*c**3*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 +
165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 6*B*c**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*
a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 120*B*c**2*d*tan(
e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 60*B*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 132*B*c**2*d*tan(e/2 + f
*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225
*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 60*B*c**2*d*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 +
165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 12*B*c**2*d/(15*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 2
25*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 45*
B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**7/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 225*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 +
225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 49
5*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 675*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4
+ 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) +
675*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 495*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f)
+ 225*B*c*d**2*f*x*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 45*B*c*d**2*f*x/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 90*B*c*d**2*tan(e/2
+ f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 +
225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*t
an(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 450*B*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan
(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/
2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 960*B*c*d**2*tan(e/2 + f*x/
2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2) + 15*a**3*f) + 1020*B*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3
+ 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 1002*B*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)**
2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f
*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f
*x/2) + 15*a**3*f) + 570*B*c*d**2*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a
**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) + 132*B*c*d**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 45*B*d**
3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**7/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2
+ f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2
+ 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 225*B*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7
+ 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*
f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 495*B*d**3*
f*x*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 +
75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 675*B*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 +
75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 675*B*d**3*f*
x*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 7
5*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 495*B*d**3*f*x*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 7
5*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*ta
n(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 225*B*d**3*f*x*
tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**
3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 45*B*d**3*f*x/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)*
*6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 90*B*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**6/(15*a**3*f*
tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*
x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a*
*3*f) - 450*B*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**5/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/
2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 960*B*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**4/(15*a**3*f*tan(e/2 +
f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 +
225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 12
00*B*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(
e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2
)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 1134*B*d**3*tan(e/2 + f*x/2)**2/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**
7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 630*B*d**3
*tan(e/2 + f*x/2)/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)
**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a*
*3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f) - 144*B*d**3/(15*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**7 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**6
+ 165*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**5 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**4 + 225*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2)**3 + 165*a**3
*f*tan(e/2 + f*x/2)**2 + 75*a**3*f*tan(e/2 + f*x/2) + 15*a**3*f), Ne(f, 0)), (x*(A + B*sin(e))*(c + d*sin(e))*
*3/(a*sin(e) + a)**3, True))

________________________________________________________________________________________